Математическое ожидание

Я уже упоминал концепцию математического ожидания. Этот ключевой принцип понимания следующих глав.

Представьте игру в монетку. У используемой монеты не смещен центр тяжести, поэтому шанс выпадения орла или решки составляет 50%. Допустим, нам предложили поставить $1 на то, что в следующей игре выпадет орел. Если мы выиграем, наша ставка удвоится (мы получим $1 прибыли в дополнение к возвращенной ставке). В этом случае, наше математическое ожидание можно выразить следующим образом:

(.5)(1) + (.5)(-1) = 0

Чтобы вычислить математическое ожидание необходимо умножить ожидаемый выигрыш или проигрыш на вероятность этого выигрыша или проигрыша, а затем сложить оба числа. В прошлом примере наше математическое ожидание равняется нулю. Это называется честной игрой, то есть игрой, в которой ни один из участников не обладает преимуществом.

Давайте теперь представим, что в случае выигрыша нашу ставку умножат в 1.5 раза (мы получим $1.5 за каждый поставленный доллар). Наше математическое ожидание изменится:

(.5)(1.5) + (.5)(-1) = +.25

Сыграв в эту игру 100 раз, наш предполагаемый выигрыш составит $25.

Оба примера были достаточно легкими, но чаще всего такой анализ – единственное, что нам требуется для подсчета ожидания. Давайте посчитаем математическое ожидание ставки на “дюжину” в рулетке. Наше ожидание на каждый поставленный  доллар составит:

(12/38)(2) + (26/38)(-1) = -.0526

Приведем еще один пример. Представьте, что вы играете в блэкджек с четырьмя колодами, вы ставите $12 и получаете 6,5, а дилер показывает туза. Дилер спрашивает, хотим ли мы воспользоваться страховкой, которая будет стоить отдельной ставки в $6. Это принесет нам $12, если закрытая карта дилера равна десяти, а в противном случае $6. В четырех полных колодах находятся 64 карты, равняющиеся десяти, и 144 карты, не равняющиеся десяти. При условии, что колоды потасованы равномерно, математическое ожидание составит:

(64/205)(12) + (141/205)(-6) =  -78/205

Это равняется примерно - $.38, поэтому нам не стоит брать страховку. У различных размеров ставок разные математические ожидания. Но в процентном выражении ожидание всегда одинаково. В случае ставки на “красное” в рулетке, оно составит 18/38 -20/38 = -2/38 = -1/19 или  – 5.26%. То есть математическое ожидание любой ставки на “красное” при игре в Американскую рулетку с двумя “зеро” составляет -1/19 или -5.26% от суммы ставки. Поэтому можно просто умножать это число на сумму ставки. Такое математическое ожидание называют убытком игрока с каждой ставки. Все, что теряет игрок, выигрывает казино, поэтому преимущество или ожидание казино составляет +5.26%.

Отличительная черта математического ожидания заключается в том, что ожидание серии ставок равно ожиданию одной отдельной ставки. Например, вы ставите $1 на красное, затем $2, затем $4, ваше ожидание составляет -$2/38, -$4/38 и -$8/38. Ваше общее ожидание составляет -$14/38 или  -$.37. Поэтому, если ожидание каждой ставки составляет -5.26%, ожидание всей серии тоже составит 5.26%. Это одна из основных причин, почему система увеличивающихся ставок (система Мартингейла) не работает: ожидание от серии ставок с негативным математическим ожиданием является негативным.