Книга «Математика игры» (Эдвард Торп) 0.00

В целом,  количество позиций в доме при количестве шашек r, составляет строго (5+r)!/5!r!. Существует строго (6+r)!/6!r!-1 позиций, когда в доме находится от одной до r шашек. Так как в данной игре возможно количество r=15, следовательно всего 211/6! 15! -1=54263 различных возможных позиций в доме одного игрока. Символ r! читается как «r факториал», и обозначает  1x2x3x...xr. Таким образом, 1!=1, 2!=2, 31=6, 4! =24, и т. д.

Я использую аппроксимацию нормальным распределением так как речь идет о статистических процессах. По моему мнению, это почти точное описание происходящего и данная аппроксимация почти не влияет на то, как представлены данные процессы.  

Для читателей-математиков: dx₀(T)/dT= -(3x₀(T) + 10)²/60. Мы можем доказать, что в этом примере для x(t) погрешность Δx₀Tпредсказания x₀(T) произошедшая из-за погрешности ΔT при измерении T, представлена формулой Δx₀(T) = -(3x₀(T) + 10)²T/60 = -3T/(20[exp(3T/20) — 1]²). К примеру, если T = 0,8 секунды и ΔT =0,012 секунды, погрешность предсказания составит Δx₀(0,8)= 0,11 оборота или 4,2 номера на колесе рулетки.

Предположим (Гипотеза I), что в башмаке действительно содержится четыре полные колоды. Тогда количество Х неоткрытых десяти-очковых карт среди 104 незадействованных карт (в двух колодах) составит 32. В общем случае, если U - это количество неоткрытых карт, Т – количество десяток во всем башмаке и N остальных карт в полном башмаке, среднее значение А от Х определяется формулой A= UT/(N + T). В нашем примере U=I04, T=64 и N=144, таким образом, A = 104 x 64/208=32. Однако данное значение может варьировать. Для измерения данной флуктуации математики используют понятие среднего отклонения  S. Формула в этом случае выглядит следующим образом S* =[UTN/T + N)²](1 -(U- 1)/N + T- 1)].

В нашем примере, формула для t₀(T) выглядит следующим образом: t₀(T)= (20/3)log_e(3/10)/exp(3T/20) - 1)) = (20/3)log_e(3x₀(T)/10 + 1). Погрешность составляет приблизительно  Δ t₀(T) = -(ΔT)exp(3T/20) /(exp(3T/20) - 1). Следовательно, если T = 0,8 сек и ΔT = 0,012 сек, Δt₀(T) = -0,106 сек.

Расчеты показывают, что для функции x(t), использованной нами в качестве примера, x0(T) = 1/exp(3T/20) - 1) - 10/3. Следовательно, на основании Т мы можем предсказать через какое количество оборотов шарик покинет статор колеса. Например, если T= 1 сек, можнопредсказать, что шарик покинет статор спустя x0(1) = 1/(exp(3/20) - 1) -10/3=2,85 оборота после того, как мы нажали на кнопку реле второй раз. Если же T= ½ сек, то, мы можем предсказать, что x0(1/2)=9,51 оборота. 

Предположим, для этого простого пояснения, что x(t) = a exp (bt) + c, где  a, b, и c являются константами, а exp– экспоненциальной функцией. Это одна из самых простых математических функций, имеющая правильную «форму». (Замечание: Читатели-математики могут при желании повторить наши объяснения, использовав квадратичную формулу x(t)=at² + bt + c, чтобы увидеть разницу).

Насколько я помню, скорость шарика в точке, в которой он падал из статора, составляла около 0,5 оборотов в секунду (об/сек), а десятью оборотами ранее, она составляла около 2 об/сек.

Допустим, что системы подсчета карт, которые «ближе» к относительным значениям u_i в таблице 2-2 могут быть «лучше».  Для того чтобы проверить это, нам нужно определить точное значения слова «лучше» и точное значение слова «близость». Начнем с определения того, что мы понимаем под «лучше» с точки зрения вероятностного доминирования и рисков, терминов, которые используются в математической теории финансов. 

Определение 1. Пусть F и G – функции распределения вероятностей. Тогда F вероятностно доминирует над G, если F(x) < G(x) для всех x.

Как правило, при игре в рулетку преимущество всегда у казино, и система Келли нам говорит: «не делайте ставки». Однако в главе,  где я рассказываю о предсказании в рулетке на основе законов физики, я описал метод, с помощью которого мы (Шеннон и я) при помощи электронного устройства добились преимущества в приблизительно 44 процента при ставе на  наиболее благоприятное отдельное число. Это соответствует вероятности выигрыша p = 0,04, при этом ставка выигрывает 1 к 35, и вероятность проигрыша при этом составляет 1-p=0,96. получается, что f *=0,44/35 -0,01257.

Система Келли призывает не делать ставок если у вас нет преимущества. По этой причине, согласно этой системе следует избегать таких игр, как крэпс и кено, а также игровых автоматов. При этом, если у вас достаточно знаний и навыков чтобы получить преимущество при игре в блэкджек, вы можете воспользоваться системой Келли для того, чтобы обеспечить достижение оптимального уровня выигрыша. Ситуация в блэкджеке гораздо сложнее, чем при игре в орел и решку, так как (1) изначальная ставка в одну единицу может дать очень разный выигрыш, к чему могут привести особенности правил этой игры: блэкджек у дилера или игрока, страховка, удвоение, разделение пар, отказ от игры и (2) преимущество игрока и его отсутствие меняется от партии к партии.  

Тем не менее, мы можем применить к блэкджеку результаты, полученные при изучении игры в орел и решку, введя небольшие модификации.